この場合の親をなんだと思ってるんだは直訳英語だと what do you think
parents are と言った感じになりますが大分弱い言い方なので聞いたことない
と思います。
どちらかと言うとよくも親をそのように扱えるもんだなと言った感じで
how dare you treat your parents like that などの方が多い気がします。
後者の how dare you speak to your parents like that は
よくも親に対してそのような口をきけるなと言ったところでしょうか。