こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
メールやテキストでほとんどのことを済ませてしまう私にとって
とても尊敬できる方ですね！素晴らしいです。
さて、『手が疲れちゃうよ！』は、シンプルに
Your hand will get tired! でよいかと思います。
『一通一通手書きで差出人の名前と住所を書いているなんてなんて丁寧な人なんだろう。
』は、
He writes the sender’s name and address by hand one letter at a time. How polite is he?でいかがでしょうか。
メモ
役立ちそうな表現を記載しておきますね。
Become numb しびれる
Feel weak 力が抜ける感じがする
ご参考になれば幸いです。
この場合の「手が疲れる」は次のように言えます。
ーMy hand gets tired.
ーMy hand gets a little stiff.
例：
If I write a bunch of addresses on envelops, my hand gets tired.
「たくさんの住所を封書に書くなら、手が疲れるよ」
ご参考まで！
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