「洗剤で手荒れする」は
ーMy hands get really dry.
ーThe skin on my hands gets chapped.
のように言えます。
例：
My skin is sensitive so my hands get really dry when I use dish soap.
「肌が敏感なので食器洗剤を使うと手が荒れる。」
他にも
laundry detergent「洗濯洗剤」
hand soap「ハンドソープ」
cleaning product(s)「清掃用洗剤」
などがありますね。
ご参考まで！
dry chapped hands from using dishwashing detergent
cracked and chafed hands from the overuse of dish soap
"chap"は、「（手などが）荒れる」
"cracked"は、「パックリ割れ」
"chafe"は、「（皮膚などを）すりむく」
という意味なので、手荒れの程度に応じて使い分けてください。
"I have sensitive skin and dry chapped hands from using dishwashing detergent."
「肌が弱いので食器洗剤で手荒れをしてしまい手がカサカサです。」
「肌が弱い」という場合は、"I have sensitive skin."/ "I have eczema."
"eczema"は、「湿疹」という意味です。
"My hands have begun to chafe from the overuse of dishwashing detergent."
「食器洗剤の使い過ぎで手荒れがひどくなってきた。」
「食器洗剤」は、"dishwashing detergent"/ "dish soap"
ご参考になれば幸いです。
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