こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『世話をしているうちにだんだん』は、
As I spend more time taking care of the hamster
として、『ハムスターの世話に時間を費やすにつれ』と表現できます。
『娘にせがまれて、ハムスターを買った。最初は苦手だったけど、世話をしていくうちに可愛く思えてきた。』
は、
My daughter was begging me to buy a hamster, so I bought him. I didn’t like him at first, but as I spent more time taking care of him, I started to think he’s cute.
と言えますね！
メモ
beg someone to 人に～してほしいと懇願する
take care of ～の世話をする、～の面倒を見る
start to think 考え始める、思い始める
参考になれば幸いです。
The more we cared for him the more we began to like him.
As we continued to look after him, we became more fond of him.
ーThe more we cared for him the more we began to like him.
「世話をすればするほど彼（ハムスター）を好きになった」
ーAs we continued to look after him, we became more fond of him.
「彼（ハムスター）の世話をし続けるにつれ、彼のことをもっと好きになった」
例：
Our daughter kept pestering us until we got her a hamster. We weren't that crazy about it at first, but the more we cared for him, the more we began to like him.
「娘がハムスターを買ってとせがんだ。最初は苦手だったけど、彼（ハムスター）の世話をすればするほど彼のことが好きになった。」
pester で「うるさくせがむ」
crazy about で「〜に夢中・〜をとても気に入って」という意味なので、not crazy about で「〜に夢中でない・〜をあまり気に入らない」のように訳せます。
ご参考まで！
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