ご質問ありがとうございます。
バラエティは英語の言葉ですのでそのまま言ったら通じられます。気をつけないといけないことは発音です。バラエティはvarietyで「ば」のbじゃなくて v から始まります。ちゃんと v の発音をすることが大事です。
罰ゲームは日本の文化の一つですので、英語でもbatsu gameと呼ばれています。ただのゲーム番組はgame showと言います。
例文：I like watching variety game shows after work.
ご参考いただければ幸いです。
罰ゲームは、英訳するなら、
penalty gameと訳すのが一番無難だと思います。
なので、
「テレビのバラエティの罰ゲーム」ならpenalty game in a TV variety showのように言えば良いでしょう。
また、
「バラエティの罰ゲームのバンジーのテレビを見るだけで怖いよ」と言いたければ、
It's scary to see celebrities bungee jumping after losing some games.
「ゲームに負けた後、有名人がバンジージャンプするのを見るのが怖い」
と言えば良いかなと思います。
ただ、他のアンカーの方も回答してらっしゃるように、罰ゲームは日本特有の文化なので、場合によってはどういう内容なのか説明をする必要が場合によってはあるでしょう。
また、
日本文化に馴染みのある人に話す時は、そのまま
batsu gameで良いと思います。
あとは、
日本語をそのまま字義通りに直訳して
punishment gameと訳しても良いでしょう（wikipediaの英語版では子の訳語が使われていました）。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
★★大阪カフェレッスン英会話講師KOGACHI
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