予約できる最短の日時でお願いしますって英語でなんて言うの？

この訳は（できるだけすぐの予約にしてください）という意味になり、「予約できる最短の日時でお願いします」と相当することになります。

これが「早く行きたい」というニュアンスがあります。

「日時」は time か date で言うことができます。

例文　I would like to see you soon, so could you please make an appointment for the soonest time possible.
「早く行きたいので、予約できる最短の日時でお願いします。」

参考になれば幸いです。

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されているので、ここでは他の例を挙げてみます。例えば、

Please schedule me for the earliest available time.
とすると、「予約できる最短の日時でお願いします」となります。

役に立ちそうな単語とフレーズ
at the earliest possible time できるだけ早く・早い時期に

参考になれば幸いです。