工場から出荷できる最短の納期は○曜日、○月○日ですって英語でなんて言うの？
日本から発送する日（ETD）ではなく、工場から出荷できる最短の日を連絡したい
回答
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It will be shipped on Oct 10th at the earliest.
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The shipment date won't be earlier than Oct 10th by any means.
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It is by no means possible for us to advance the shipment earlier than Oct 10th.
淡々と、最短出荷日を伝えるのであれば、回答文1の様な表現で十分でしょう。
「どんなに工夫しても、これ以上は無理・・・」というニュアンスを出したければ、回答文2や3を参考に出来るかも知れません。
回答
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The earliest we will be able to send a shipment from the factory is the ....
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The items will be shipped from the factory on the... at the earliest.
shipment = 出荷
factory = 工場
items = 品物
at the earliest = 最短
なお、日付を英語で言う際は "on 曜日 the 日 of 月" か、"on 曜日、月、日th" です。曜日なしなら "on the 日 of 月”です。例えば "on Tuesday the 3rd of January" または "On the 3rd of January", または "Tuesday January 3rd"。
The earliest we will be able to send a shipment from the factory is the .. = 最短に出荷できるのは◯◯です。
The items will be shipped from the factory on the... at the earliest. = 工場から出荷する品物は◯◯の最短納期です。
日本 
