「血統書付きの犬」は英語で一般的に2つの表現があります。まずは purebred です。Purebred は名詞と形容詞なので、dog を付けて構いません。両方はよく使われています。Pure の意味は「純粋」で bred は「育った」の意味ですね。例えば、
I want to get a dog, but it doesn't matter if it's a purebred dog; a mixed one is fine.
犬は飼いたいけど、血統書付きの犬じゃなくて雑種でもいい
そして、full-blooded は上記と同じですが、どんな犬種を付けます。Full-blood は「100%1つの血」みたいな意味です。例えば、
That's a full-blooded shitzu that they have!
あの人たちは血統書付きのシーズーを飼っていますね!