英語で「ビンゴになる」はget a bingo(「ビンゴを獲得する」)と言います。この場合の「最初」は「一番最初にビンゴをとった者」を指しているので、the first oneと言います。よって、「最初にビンゴになった」はI was the first one to get a bingoと言います。
バスレクでビンゴをやった時、最初にビンゴになった。
→When we played bingo on the bus, I was the first one to get a bingo.
また、I was the first one to winの文章では、前半にすでに「ビンゴ」という単語が出ていますので、I was the first one to win(「私が一番最初に勝った」)とも言えます。つまり、再度「ビンゴ」という言葉を入れる必要はありません。
バスレクでビンゴをやった時、最初にビンゴになった。
→When we played bingo on the bus, I was the first one to win.