I want to make a submission to the English composition quiz in the newspaper that I subscribe to.
ご質問ありがとうございます。
「購読してる新聞の英作文クイズに投稿したい」は英語で言いますと「I want to make a submission to the English composition quiz in the newspaper that I subscribe to.」になると思います。
「購読」は「Paid subscription」ですね。「購読してる」だと「Have a paid subscription」になります。
「新聞」は「Newspaper]です。
「英作」は「English composition」と言います。
「投稿」は「To contribute」や「To make a submission」になります。
「したい」は「I want to~」ですね。
役に立てば幸いです。