I know the name of every flower.
これだと文が完全でないように聞こえます。どこに生息する花の全部の名前のことを言っているのか？と思われるので、最後に場所を付け足してあげると自然な言い方になりますよ。
例：
I know the name of every flower in Hokkaido.
「北海道のすべての花の名前を知っている。」
I know every flower's name.
は日本語英語なので、この言い方は不自然です。
the name of every flower in ... と言うと良いでしょう。
ご参考まで！
カナダ 
