ご質問ありがとうございます。
惣菜はside dishと言います。私の文化ではそういう店がありませんので、side dish storeより詳しく説明したいかったら、I will go to the store to buy ingredients for side dishes.「店にお惣菜を買いに行く」と言えます。
お惣菜屋さんと一番近い店の種類はdeliだと思います。そこでは普通にサラダとかスープなどのおあかずをサンドイッチと肉と一緒に販売しています。
ご参考いただければ幸いです。
「お惣菜屋さん」というのは、サラダやおかずなどを販売している店のことです。英語で「deli」と言います。これは「delicatessen」という単語の略で、主に準備された食品や即食品を取り扱うお店を指し、量り売りで客が好きなものを選ぶことができます。
例文:
After the lesson, I'm going to the deli nearby to pick up some prepared dishes and have lunch at home. 「レッスンが終わってからは、近所のお惣菜屋さんに行って、色々なお惣菜を買って家でランチをします。」
アメリカ合衆国 
