「しっかり」はcarefully, properly, thoroughlyなど、様々な英訳があり、シチュエーションによって一番適切な表現が変わります。「きちんと汚れを落とすように手を洗う」「水滴が残らないようにきちんと乾かす」ときの「しっかり」はthoroughlyが一番適切です。thorouglyは「完全に」という意味がありますので、「完全に汚れを落とすように手を洗う」「完全に手を乾かす」のニュアンスがあります。
なお、このthoroughlyは子供に向けては少し難しい言葉ですので、シンプルにvery carefully（とても慎重に）という表現の方がわかりやすいです。
しっかり手を洗ってしっかり乾かして。
Please wash and dry your hands thoroughly.
or
Please wash and dry your hands very carefully.
アメリカ合衆国 
