一番目は直訳的な感じです。一緒に住んでいる人に聞く時に家はhomeじゃなくthe houseと言う表現をよく使いますね。ですが、What time will you leave tomorrow?(明日何時に出るの?)も普通によく使われていてOKですね。
go outは「(家から)出かける」と言う意味で使えますね。ですのでWhat time will you go out tomorrow?もわかり安く意味を伝えます。
ご参考になれば幸いです。
What time do you plan on leaving (home) tomorrow morning?
ーWhat time are you leaving the house tomorrow?
「明日は何時に家を出るの?」
leave the house で「家を出る」
ーWhat time do you plan on leaving (home) tomorrow morning?
「明日の朝は何時に家を出る予定?」
plan on ... で「…する予定」
お母さんに聞かれるとのことなので、home はあってもなくても良いです。
ご参考まで!