ご質問ありがとうございます。
・I'm waiting for the laundry machine to finish.
＝「私は洗濯が終わるのを待っています。」
（例文）I usually listen to music while waiting for the laundry machine to finish.
（訳） 私は大抵音楽を聴きながら、洗濯が終わるのを待っています。
・ laundry machine＝「洗濯機」
（例文）I recently bought a new laundry machine.
（訳）私は最近、新しい洗濯機を購入しました。
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I'm just waiting for my laundry to be done.
とすると、「今、[洗濯](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/98574/)が終わるのを待っています。」となります。
I'm just waiting for the washing machine's finish. は不自然です。finish をこのように名詞として使うことはできません。
役に立ちそうな単語とフレーズ
laundromat コインランドリー
washing machine 洗濯機
load 洗濯機1回分の洗濯物
cycle 洗濯機の1回の運転
参考になれば幸いです。
日本 
