ご質問ありがとうございます。
・I was relieved.＝「気が楽になった」「ほっとした」
※relieveは「安心」という意味です。
「relieved」は「relieve」の過去形です。
・I felt better.＝「気分がマシになった。」
（例文）I was relieved that she said those words.
（訳）そのような言葉を彼女が言ってほっとしました。
（例文）Her words made me feel better.
（訳）彼女の言葉で気分がマシになった。
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
「気が楽になる。」は、
"That makes me feel so much better."
"I feel so much better now."
という表現を使うことも出来ます。
「それを聞いて気が楽になった。」という場合は、
"That made me feel so much better."
ご参考になれば幸いです。
日本 
