ご質問ありがとうございます。
when it got biggerは「大きくなった」の直訳です。他の言い方はas it grewとかas it grew upです。
itの代わりにthe dogとかペットの名前も使えます。
「捨てられました」はabandonedと言いますがthrown outとかdiscardedも使えます。ただ、abandonedは生き物の話では一番自然です。
ご参考いただければ幸いです。
I was abandoned once I grew up.
（成長したら捨てられた。）
ペットの目線でと言うことですので、主語はI（わたし）としました。
abandoneは「放棄する、見捨てる」です。（あってはいけないことですが）ペットを捨てる、と言うのにぴったりする単語だと思います。
They got rid of me once I was no longer tiny and cute.
（私が小さくてかわいくなくなったら、彼らは私を捨てた。）
ちょっと後半は脚色してみましたが、「get rid of」にも「処分する」と言う意味がありますのでこのようにして使えます。
英語ネイティヴスピーカーな表現ということですので、カナダ人パートナーと確認しながら自然な表現になるようにしました。
参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
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