こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『捨てられた犬が家族になりました』は、
いくつか言い方が考えられますが、
An abandoned dog has become part of my family. と言えます。
become part of someone's family で
『～の家族に加わる・の一員になる』が表現できますね！
We took the dog that was left behind by its owner, and the dog has become part of my family since then. とすると
『私たちは捨てられた犬を引き取り、その時からその犬は家族の一員となりました。』と説明できます。
メモ
leave behind ～を置き去りにする
参考になれば幸いです。
日本 
