下唇の裏側に口内炎があって痛いって英語でなんて言うの？

「～があって痛い」には have a pain from ～ がよいと思います。「口内炎」は医学用語で stomatitis と言いますが、こちらも一般にも比較的よく使われているようですので、canker sore に置き換えてもよいと思います。
口内炎が「下唇の裏に」あるとのことですので、on the inside of the lower lip がよいと思います。the lower lip は自分のことであれば、my lower lip でもよいと思います。
「飲んだり食べたりすると」は while eating and drinking になります。during eating and drinking という言い方もあります。
「ずっと気になる」というのはここでは It makes me feel uneasy. としてみました。feel uneasy は、不安を感じたり、気が気でなかったり、落ち着けない、という感じでの「気になる」です。

「下唇の裏にあるので、飲んだり食べたりすると痛い。ずっと気になってしまう」
＝ It's on outside (other side) of my lower lip so it hurts to eat and drink and it's been bothering me.