最初の言い方は、Congrats on becoming an adult は、成人おめでとうと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、Congrats は、おめでとうと言う意味として使われています。becoming an adult は、成人あるいは大人になると言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、Congrats on becoming a grownup は、成人おめでとうあるいは大人になった祝いと言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、becoming a grown-up は、成人と言う意味として使われていました。
congrats は congratulations の略です。少しカジュアルな印象もありますので、congratulations と言うこともできます。congratulations はフォーマルな場面でも使用できます。
adult = 大人
become an adult = 大人になる
grown-up = 大人
become a grown-up = 大人になる
congratulations = おめでとう
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ご質問ありがとうございます。
新成人へのお祝いの言葉で「[成人](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/60682/)おめでとう」は英語で「Congrats on this coming of age celebration」と言えます。
また、別の言い方で「Congrats on officially becoming an adult」でも言えます。
ご参考になれば幸いです。