何でも他人任せじゃだめだよ。自分から動いてみれば。って英語でなんて言うの？

こちらの英語はイディオムとなっており、「何かを確かにやりたい時は自分でやるべきだ」という意味になります。

「①　If you want something done right, do it yourself.」

ジュリアン

まず、「他人に頼る」という意味では、"rely on others" が使えます。"rely" は「頼る、依存する」の意味です。一方で、「すべて」を表現するために "for everything" を加えています。

さらに、「自分で動く」という意味で、"take the initiative yourself" があります。"initiative" は「率先、イニシアティブ」の意味で、「何かを始める第一歩」を示します。