I will overcome any adversity! I will show everyone that I can do so!
ご質問ありがとうございます。
「乗り越える」は"overcome"です。
"I will overcome any adversity"=「私はどんな逆境でも乗り越える!」
☆"adversity"とは「逆境」または「困窮」という意味です。
"I will show everyone that I can do so!"=「私は皆にそうできる、と見せる!」
(これは「のりこえてみせる!」の部分を訳した文章です)
ご参考に!