回答
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But I'm not free until eleven pm today so how about tomorrow?
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I'm busy until eleven pm though so how about tomorrow?
でも は 途中までの文章であれば but を使っても良いですが
はじめに持ってきたい場合は基本後者の表現のように though などを
使うのが適切です。
23時は eleven pm と表現できます。
手が空かない は I'm not free と言えますが忙しいと言う意味で
I'm busy と言うのも有です。
明日はどうかと聞く場合は how about tomorrow と言います。