最初の言い方は、I didn’t put the air conditioner on today. は、今日はエアコンをつけていないんだよと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、didn’t は、did not の略語ですと言う意味として使われています。
二つ目の言い方は、I didn’t have the air conditioner on today. は、今日はエアコンオンにしてないわと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方では、didn’t は、did not の略語です。air conditioner は、エアコンと言う意味として使われています。
エアコンはもともと-air conditioner の略語から作られた言い方です。日本でしか使わない言い方だと思います。なぜなら、アメリカではair conditioner あるいはAC と言う略語の言い方を日常的に使っています。
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「今日はエアコンをつけていないんだよ」をそのまま英語にするとI haven't turned the AC on today.（「エアコン」は英語でair conditionerと言いますが、長いのでACと略されることが多いです）となります。そのまま表現しても十分通じます。また、I don't have the AC on today.も同じ意味になります。（turn on the AC = エアコンをつける、have the OC on = エアコンをつけた状態にする。ニュアンスは少し違いますが根本的な意味は変わりません）
また、英語ではuse the AC（エアコンを使う）という言い方もありますので、I haven't used the AC today（今日はエアコンを使っていない）という表現もありです。
アメリカ合衆国 
