いったん周囲をグルグル回ってから犬は座る（寝る）って英語でなんて言うの？

"walk in a circle" と "turn in a circle" の二つの文は同じ意味で、"a circle" の代わりに "circles" を使っても大丈夫です。

"lie down" の代わりに "sit down"も使えますが "lie down" を使う方が多いです。

そして "a dog" と "dogs" どちらでも使えます。

二つ目の文のように、"dogs" を使えば、動詞に "s" を付けてはいけません。
"a dog" を使えば、三つ目の文のように、動詞に "s" を付けないといけません。
一つ目の文のように、 "will" を使う文の時は "will" のすぐ後に来る動詞は全て原形になります。

全ての文に "will" を使う事もできますが、その際は一つ目の文のように動詞を全て原形にします。