My bag was hanging from my handlebar and got caught in my wheel, and then I fell off my bicycle.
ーMy bag was hanging from my handlebar and got caught in my wheel, and then I fell off my bicycle.
「自転車のハンドルにかかっていたカバンがタイヤに絡まって転んだ」
カバンが絡まることは、to get caught を使って言うと自然な言い方になりますよ。
to get caught in my wheel で「タイヤに絡まる」
前置詞 in は、タイヤに巻き込まれるイメージを持つと覚えやすいですね。
ーMy purse got caught in the wheel on my bicycle and I crashed.
「バッグが自転車のタイヤに絡まって転んだ」
purse で「女性用のハンドバッグ」
この場合 I crashed を使っても「（自転車で）転んだ」と言えます。
ご参考まで！
My bag got caught in the front wheel, and I fell off my bike.
「バッグのひも」が原因で絡まったことを言いたいなら、「the strap（ひも）」という単語を使うこともできます。
1. **My bag got caught in the front wheel, and I fell off my bike.**
バッグが前輪に引っかかって、自転車から落ちちゃった。
2. **The strap of my bag got tangled in the wheel, and I crashed.**
バッグのひもが車輪に絡まって、転んだんだ。
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