ご質問ありがとうございます。
「負けた」はlost(現在形:lose)とdefeated(現在形:defeat)と言います。「感じ」はfeelingと言いますから、1番目にfeeling of losing(動名詞)に訳しましたが、2番目の言い方の方が自然だと思います。
例文:「フランス人は英語を使うのをいやがる理由はアメリカやイギリスに負けた感じがする。」
French people's reluctance to speak English is because they feel like they lost to American and England.
or
French people's reluctance to speak English is because they feel like they were defeated by American and England.
ご参考いただければ幸いです。
・**a feeling of defeat**
最もストレートで丁寧な表現です。「敗北感・負けた感じ」を自然に伝えます。
・**feeling like you're losing to someone**
ややカジュアルで、相手に“負けている気がする”というニュアンスを強く出したいときに使います。