最初の言い方は、To accomplish this mission by 7:00 pm は、午後7時までに任務を遂行しましたと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、To accomplish は、遂行すると言う意味として使われています。this mission は、任務と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、To follow through with this mission by 7:00 pm は、午後7時までに任務を遂行しましたと言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、To follow through は、遂行すると言う意味として使われていました。
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I completed the mission by 7 p.m.
I carried out my duties by 7 p.m.
The task was completed by 7 p.m.
* complete the mission(任務を完了する)
直球で分かりやすいです。「任務=mission」が本当に任務っぽい場面(軍・警備・案件など)ならこれが強いです。