It's ok to own a dog, but make sure to raise it responsibly.
「責任を持って育てなさい」は英訳すれば、「Make sure to raise it responsibly.」になります。命令するとき、「make sure to」という表現をよく使います。
「raise it」は「(犬を)育つ」という意味です。「responsibly」は「責任持つ」を表しますがこの場合で副詞として使っています。
「飼っても良いけど、責任持って自分で育てなさい」も翻訳すれば「It's ok to own a dog, but make sure to raise it responsibly.」になります。
「It's ok to own a dog, but」は「(犬を)飼っても良いけど」という意味です。