I'm in charge of cleaning the bathroom and taking out the trash.
I'm responsible for cleaning the bathroom and taking out the trash.
「役目」は英語で確かに「role」と言えますが、仕事の関係の強くニュアンスがあります。
その代わりに「in charge of」の方が使いましょう。家事に関して、よく使えます。
そうすると、「I'm in charge of cleaning the bathroom and taking out the trash.」になります。
別の英単語を使いたいなら、「responsible」も言えます。上記の英文の「in charge of」の代わりに「responsible for」と変更すれば、同じ内容を伝えられます。