The library is closed on the first Friday of every month for organization.
The library is closed on the first Friday of every month to organize the books.
ご質問ありがとうございます。
「第一XX曜日」はThe first XXdayと言いますので、「毎月第一金曜日」はthe first Friday of every monthです。曜日なら必ず大文字から始まりますね。
「整理」はorganizeとかorganizationと言います。organizationだけで、説明がちょっと足りないと思いますので、2番目の回答みたいなorganize the booksとかorganize the shelvesの方がいいですね。
ご参考いただければ幸いです。