"仕事を進める"
はい、あっています。
proceedという動詞は自動詞です。
よって、使い方は
proceed with ~ （名詞）あるいは proceed to ~ (不定詞）となります。
例 I proceeded to tell him of my lie.
自分に与えられた仕事をすすめるは
I'll procced with my task. I'll proceed with my assignment.
は正しい表現です。
ご質問ありがとうございます。
「仕事を[進める](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52722/)」は英語で「proceed with my task/assignment」で問題ないです。
もし、別の言い方を知りたいなら、「making progress with my task/assignment」でも言えます。
ご参考になれば幸いです。
「仕事を進める」という表現は、状況に応じていくつかの言い方ができます。
proceed with my task/assignment は正しい英語で、特にビジネスの文脈で使われるフォーマルな表現です。
より日常的な表現では、
move forward with the project
や
make progress on the work
という言い方もできます。
日本 
アメリカ合衆国 
