ご質問ありがとうございます。
「枠」だけを辞書で調べたら、frameとかslideが現れていますが、「参加枠」とか「予約枠」はparticipation frameとかreservation slideに訳せません。一般的に使える言葉はclaimとspotだと思います。でも場合によって英訳が変わります。
例文:自分の予約をキャンセルして、他の人が予約できるようにした。
I gave up my reservation so that other people could make one.
I gave up my spot so that other people could make a reservation.
I gave up my right of way so that other people could make a reservation first.
ご参考になれば幸いです。