ご質問ありがとうございます。
「箱の身が蓋に入らない」は英語で「The lid doesn't fit the box.」と言えます。
和文は直訳すれば、「The box doesn't fit the lid」になります。このままでも大丈夫ですが、自然な言い方は1つ目の英文の方が良いと思います。
また、「わたしの使った厚紙が分厚過ぎたようです。」も英訳すれば、「Perhaps it might be that the thick paper I used was way too thick.」という風に言えます。
ご参考になれば幸いです。