ご質問ありがとうございます。
「箱の身が蓋に入らない」は英語で「The lid doesn't fit the box.」と言えます。
和文は直訳すれば、「The box doesn't fit the lid」になります。このままでも大丈夫ですが、自然な言い方は1つ目の英文の方が良いと思います。
また、「わたしの使った厚紙が分厚過ぎたようです。」も英訳すれば、「Perhaps it might be that the thick paper I used was way too thick.」という風に言えます。
ご参考になれば幸いです。
"The lid won't fit on the box." が自然な表現です。
「won't」は「will not」の短縮形で、「どうしても～しない」「どうやっても～できない」という状況を表します。
他にも、「蓋と箱がぴったり合わない」という意味で、
"The lid doesn't fit the box."
も使えます。
アメリカ合衆国 
