He spent another year preparing for the entrance exam after graduation, and he was finally accepted by University of Tokyo.
He passed the entrance exam for University of Tokyo after studying for it for another year after he left high school.
そもそも「浪人」という概念が欧米ではないと思うので、別の言葉で説明する必要があります。いろんな言い方ができますが、以下参考になれば幸いです。
・He spent another year preparing for the entrance exam after graduation, and he was finally accepted by University of Tokyo.
彼は卒業後入学試験の準備にもう１年かけて、ついに東京大学に合格した。
・He passed the entrance exam for University of Tokyo after studying for it for another year after he left high school.
彼は高校を出た後もう１年勉強して、東京大学の入学試験に合格した。
entrance examination/exam = 入学試験
pass an exam = 試験に合格する
be accepted by school = 学校に合格する（受け入れられる）
He passed the entrance examination for the University of Tokyo one year after graduating high school.
高校を卒業して、１年浪人して合格したというのは、
「高卒の１年後に入試に合格した」
ということなので、「１年浪人して」は
one year after graduating high school
となります。
「彼は一年間浪人して東京大学に合格しました。」は
He passed the entrance examination for the University of Tokyo.
なので、これの後に上の「浪人」の部分を続けます。
日本 
