ご質問ありがとうございます。
「Proceed with the process」と「Run the process」は両方とも正しいです。
両方は「プロセスを実行する」を表します。
しかし、違う点として２つ目の「Run the process」は話し言葉です。
ビジネス英語とか上司に対して「Proceed with the process」が良いと思います。
ご参考になれば幸いです。
「プロセスを実行する」という表現で、「proceed with the process」と「run the process」どちらも正しいです。
We have a budget, so let's proceed with the marketing process.
『予算ができたので、マーケティングのプロセスを進めましょう。』（人の行動）
You need to run this command to start the installation process.
『インストールプロセスを開始するには、このコマンドを実行する必要があります。』（機械の行動）
アメリカ合衆国 
