ご質問ありがとうございます。
① "This watch uses up its battery quickly."＝「この腕時計は電池を早く使い切ってしまいます。」
② "uses up"は日常会話で使うフレーズですが、"deplete"(=～を枯渇させる）という動詞も使えます。
追加："I was told that this watch's life is approaching its end."＝「この時計の寿命は近くなってきていると言われた。」
ご参考に。
The watch's battery: 「時計の電池」を指します。
drains quickly: 「すぐになくなる」という意味です。"drain"は「消耗する」「なくなる」を意味し、"quickly"を加えることで「早く消耗する」というニュアンスになります。
他にも、"The battery in my watch runs out fast."（私の時計の電池がすぐなくなる）と言い換えることもできます。
アメリカ合衆国 
