ご質問ありがとうございます。
・「I almost gave up.」「I was about to give up.」
＝「私は諦めるところだった」
（例文）I almost gave up because I wasn't motivated anymore.
（訳）もうモチベーションがなかったため、私は諦めるところでした。
（例文）I was about to give up because I was exhausted.
（訳）もう疲れ果てていたので私は諦めるところでした。
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
ご質問ありがとうございます。
「諦めそうになる」と言いたいときは、まず (be) close to「〜に近い（状態になる）」を使って
I'm close to giving up.
「諦めそうになる」
ということができます。
また、feel like ...ing「〜したい気分だ」を使って
I feel like giving up.
「もう諦めたい気分だ」
などと表現することができます。
ご参考になれば幸いです。
「諦めそうになる」を英語で表現する際、"I feel like giving up" というフレーズが自然な言い方です。"feel like" は「〜の気がする」「〜したい気持ちになる」という意味があります。"giving up" は「諦めること」を指します。
質問に関連したシチュエーションとして、「なかなか思うように喋れなくて、諦めそうになるけれど」という気持ちを英語で伝えるとき、"I feel like giving up because I can't speak as well as I'd like, but I've decided to push until I can communicate" という言い方もできます。
・I feel like giving up.（諦めそうになる。）
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