回答
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a car with (a) driver/chauffeur
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a chauffered car / a chauffeur-driven car
Chauffeurはフランス語由来ですが、
英語でとても使われております。
地域によって言い方が異なるかもしれませんが、
a chauffer-driven carがよく使われています。
回答
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I wish I had a chauffeur.
アドリアンさんのおっしゃる通り、運転手は chauffeur と言います。
運転手がいるということは、車もありますから、
以下のように言えば結構シンプルに表現できると思います。
I wish I had a chauffeur.
運転手が雇えたらいいのに…