A lack of sleep gradually takes a toll in the person's health
ご質問ありがとうございます。
この場合、「undermine」や「take a toll」はどっぢも使えますが、私的に「take a toll」の方が使いそうです。
ですので、「徐々に蝕む」はそのまま英訳すると「gradually takes a toll」になります。
また、「睡眠不足は徐々に健康を蝕む」という文章も英語にする場合、「A lack of sleep gradually takes a toll in the person's health」になります。
ご参考になれば幸いです。
Sleep deprivation gradually undermines your health.
"gradually" は「徐々に」という意味で、"sleep deprivation"(睡眠不足)が「health」(健康)に影響を与える様子を描写しています。
"take a toll on"も有効なフレーズで、「大きな負担をかける、悪影響を及ぼす」という意味合いで使えます。以下のような表現も可能です:
Lack of sleep takes a toll on your health over time.
(睡眠不足は時間とともに健康に悪影響を及ぼします。)