「適正な」は色々な訳語がありますが、
賄賂の無い、という意味であれば、uncorruptやhonestがいいです。
和英辞書などで出てくるproperは幅広くて、賄賂の無いという意味はなかなか伝わらないです。
Does the local government in your country have uncorrupt procedures?
あなたの国の地方自治体では、適正な手続きがされていますか?
ご参考になれば幸いです。
Are the processes being carried out properly by your local government? (Without any bribery)
「適正な手続き」を英語で表現すると、"proper procedures" もしくは "proper processes" と訳すことが一般的です。しかし、この例文で要求されているような全体の概念について語る時は「being carried out properly」を使うと、文の意味が明確になります。
質問文"あなたの国の地方自治体では、適正な手続きがされていますか?(賄賂の無い)"は、"Are the processes being carried out properly by your local government? (Without any bribery)" と言うことができます。
ここでの "carried out properly" は "適正に行われている" を意味し、"by your local government" は "あなたの地方自治体によって" を意味します。括弧内の "without any bribery" は「賄賂なしに」という補足事項です。
この表現は、公共の事務や手続きが適切に管理されているかどうかを確認したいときに利用できます。英会話の中で、地方自治体や他の公機関の手続きについて話す際に役立つフレーズです。それが役立つことを願っています。