シチュエーションによって、言い方は異なるので例文を参考にしてみてください。
例えば、何かの手続きに必要な書類がそろっておらず、手続きが止まっていて、必要書類を揃えて提出したら、担当の人が「手続きを進めます」と言う場合。
I'll continue processing your application.
「申請手続きを進めますね。」
continue は何かが中断していた後にまた続けるという意味があります。
「手続きを行う」は自分が何かの手続きをするという意味で言っています。
例：
I applied for a new passport.
「新しいパスポートの手続きを行った。」
apply には申し込むという意味があります。
ご参考まで！
いろいろな手続きがありますが、以下の言い方ができます。
procedure
こちらは、手続き、手順、または手術という意味でも使える場合があります。
paper work
こちらは主に書類の場合でよく使いますね。一番シンプルで使いやすいと思います。
registration
こちらは登録という意味ですが、登録する手続きで使えますね。
手続きを進める
go ahead with the procedure
入国手続きを書き終える
finish writing the immigration papers
出生手続きをする
register the birth of a child
こんないろんな言い方があります！
少しわかりにくい説明かもしれませんが、使い分けて使ってみてくださいね！
お役に立てれば幸いです！
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