こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『日本語の音が重なる言葉遊びなのですが、英語だとなんて言いますか？』について、英語では、pun と言います。
『英語だとこの言葉遊びは成立しますか？』このスコッチのダジャレは英語では成立しませんが、英語でもダジャレはありますので例を挙げてみますね！
What do you call an alligator in a vest?
『ベストを着ているアリゲーターを何と呼びますか？』
An investigator.
『インベスティゲーター』
このように英語でも日本語と同じように、同じ或いは非常に似通った音を持つ言葉をかけて遊ぶ一種の言葉遊びはあります。
参考になれば幸いです。
日本 
