飲みすぎて顔がむくんでしまいました。
「飲みすぎて顔がむくんでしまいました。」は、「My face got puffy from drinking too much.」で通じます。
「むくんでいる」は「puffy」だけでなく「bloated」も使いますが、お腹にガスや液体がたまっている時など、病気で膨らんでいる時にもよく使われます。「swollen」の場合は腫れて肥大しているニュアンスがあります。
「むくんでる」は「swollen」を意味しますが、アルコールの効果について話すときは「flushed」と言います。