後継者を探すって英語でなんて言うの？

２つ例を挙げましたが、個人的にはどちらかと言うと１つ目の方が自然な感じがします。
英語では後継者はそのまま直訳で「a successor」と言います。例文でsuccessorの前についている「fitting」は、ぴったりの、考えに合う、といった意味ですね。従って、１つ目の分は、日本語の原文のほぼ直訳ということになります。

２つ目の例文では、１つ目でa fitting successorとしたところを「a right person」としています。このrightは「（会社を継ぐ）正当性のある、会社にとって正しい選択の」という様なニュアンスを含みます。日本語に再訳するなら「私の後に会社の面倒をちゃんと見てくれる人を探している」という感じになるでしょうか。

後継者は英語で successor と言います。なので、「会社を続けていくために後継者を探しています」は We're looking for a successor for the company と言えます。もう一つの言い方は　We're looking for a successor to take over（継ぐ）the company です。

後継者を調べると heir という言葉も出ますが、heir は王室や貴族のイメージです。

ご参考になれば幸いです。

後継者はたいてい社内など、すでに知っている人の場合が多いので、日本語は「探す」であっても動詞 select（選ぶ）もふさわしいと思います。

そこで、単に select a successorでもいいですが、Qさんが fittingを添えていらっしゃるのと同じ意味合いで、worthy（ふさわしい）という形容詞が、successorとは相性がいいです。

この単語同士の相性は collocation（コロケーション）と言って、よく使われる組み合わせのことです。

Successor - 後継者
look for - 探す

例文:
I'm looking for a successor for my company.
私の会社の後継者を探しています。

He'll be the next successor of the company.
彼は会社の次の後継者になりますよ。

take over は 「引き継ぐ」という意味です。
例文:
I'm looking for someone to take over the company.
会社を引き継ぐ誰かを探しています。

おっしゃられている内容は、以下のように表現できると思いました(^_^)
look for a successor
「後継者を探す」
look for someone who can take over the company
「会社を引き継ぐ人を探す」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)