I didn't prepare the documents, so I will give the explanation as I write it on the fly.
ご質問ありがとうございます。
「即興的に」はimproviseと言います。例えば、ジャズでのソロがimprovisationです。今回の場合、improviseの使い方が下に書いておきます。
例文：I couldn't prepare the presentation materials, so I will improvise and explain as I write.「資料を準備してないのでこの場で書きながら説明しますね」
I couldn'tとI didn'tの違いとしてはI couldn'tでは「なんか起きて準備できなかった」というニュアンスです。I didn'tでは「わざとしなかった」の意味になりますので気を付けてください。
on the flyとin the momentはよりカジュアルな言い方です。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
