Stay with me. も Stay next to me. も使えますが、Be next to me. は不自然ですね。
これ以外にも次のような表現も使えますよ。
ーStay close to me.
「私の近くにいてね」
ーStay close by.
「そばにいてね」
ーDon't go too far away.
「遠くに行かないでね」
例：
I don't know anyone here. Stay close to me.
「誰も知っている人がいない。私の近くにいてね」
ご参考まで！
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