A lot of things that belong to her have got the 'Frozen' character Elsa.
A lot of things that belong to her are designed with the drawing of the 'Frozen' character Elsa.
A lot of things that belong to her are designed by character of Elsa. では「彼女が持っているたくさんのものはキャラクターのエルサによってデザインされています」という意味合いになります。
「～のデザインがついている、～が描かれている」の場合は上記２つの構文のように
have (got) 〇〇
もしくは
〇〇 is designed with the drawing of XXX (XXXの絵が描かれたデザインがされている）
のほうが適当だと思います。
参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
・「Things with Elsa on it.」
＝エルサが描かれたデザインの物
（例文）She has a lot of things with Elsa on it because it's her favorite character.
（訳）彼女のお気に入りのキャラクターなので、エルサが描かれたデザインの物をたくさん持っています。
・「She has a lot of things with Elsa on it.」
＝彼女はエルサが描かれたデザインの物をたくさん持っています。
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
日本 
