こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
『Chase is on the case(その任務お任せだぜ!)』について、on the case は、直訳すると『その事件を捜査中で、対応に当たっていて』となりますが、パウパトロールでは、チェイスのキメ台詞として使われていますね!この場合、『チェイス(chase)とケイス(case)』が韻を踏んでいるのでリズムもよく、『その任務お任せだぜ!』というニュアンスが伝わりやすいです。使う状況によりますが、I am on the case. として『俺にお任せだぜ』と言えなくはないです。パウパトロールを観たことある人であればなお伝わりやすいでしょう!
また、既にその問題に取り組んでいるのであれば、I am on it. とか、短く on it とも言えます。『僕に任せて』というような言い方であれば、Leave it to me. とも言えますね!
『その任務お任せだぜ!』シーンの一部
Ryder: Chase, it is all up to you. Use the winch in your pup pack to get the driver and bring him to safety.
Chase: Chase is on the case.
参考になれば幸いです。