履歴書が出来次第、送付いたします。って英語でなんて言うの？

この場合は、次のように言うとよいでしょう。

ーAs soon as I finish my resume, I'll send it to you.
「履歴書が出来次第、送付します」

ーOnce I complete my resume, I'll email it to you.
「履歴書ができたら、メールで送付します」

「〜次第」は as soon as や once を使って表現すると良いですよ。

海外では履歴書と一緒にカバーレターや推薦者（照会先）も提出するのが一般的なので、それらが必要かを聞く場合は、次のように言えます。
ーWould you also like a cover letter and references?
「カバーレターと照会先もお送りしますか？」

ご参考まで！

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば以下のような英語表現はいかがでしょうか：

I will send you my resume as soon as it's ready.
準備が出来次第履歴書をお送りします。

I will send you my resume as soon as it's finished.
完成次第履歴書をお送りします。

as soon as ... で「〜次第」のようなニュアンスになります。

ぜひ参考にしてください。